Secuencia 1 Variables, ordenación y presentación

Asignatura: Probabilidad y Estadística
Tema Integrador: Deportes
Tema: Variables, representaciones, ordenación de datos, gráficas
Concepto Fundamental: Estadística.
Conceptos Subsidiarios: Población, muestra, variables discretas y continuas, redondeo de datos, notación sistematizada, cifras significativas, datos no agrupados, datos agrupados, gráficas para representar los datos.
Valor: Disciplina.- Capacidad de actuar con orden y constancia, siguiendo lineamientos justos para alcanzar los objetivos deseados enfrentando con entereza cualquier obstáculo.
Objetivo: Manejo de los conceptos población, muestra, variables discretas y variables continuas. Dada un número determinado poder redondearlo, expresarlo en notación sistemática y determinar el número de cifras significativas que lo forman. Ordenar en forma creciente una serie de datos, agruparlos en tablas de distribución de frecuencias y construir las distintas gráficas que explican su comportamiento.

APERTURA: 2 hrs.
I. ¿Cómo se elabora una tabla de las posiciones de los equipos de futbol de una liga?

II.- Responder el siguiente cuestionario sobre ¿Qué sabe de estadística?
Primero Individual y después en equipo.
1.- ¿Qué crees que estudia la estadística?
2.- ¿En qué deportes o eventos has visto aplicada la estadística? ¿En que forma se presenta?
3.- ¿Por qué es útil e importante la estadística en los deportes y eventos?
4.- ¿Cómo empleas la estadística en tu vida cotidiana?
5.- Mencionar, un aspecto de la aplicación de la estadística en alguna ciencia, enfatizando como se aplica.
6.- ¿De qué manera obtendrías los datos para realizar un estudio?
7.- Ordena las siguientes series de datos en orden creciente:

a) 5, 3, 4, 5, 2, 9, 2, 9, 3, 7, 9, 6, 5, 7, 5, 4, 5, 6, 7, 6, 4, 5, 6, 7, 4
____________________________________________________

b) 4.8, 2.7, 1.6, 7.4, 3.9, 6.2, 7.8, 6.5, 7.6, 7.1, 6.3, 5.8, 7.2, 3.9
_____________________________________________________

c) -0.75, 1.55, -0.92, -1.3, 1.22, 0.02, -0.92, 1.05, 0.75, -0.32
_____________________________________________________

d) 1.102, 0.075, 1.105, 0.905, 0.305, 0.525, 1.100, 0.604, 0.049
_____________________________________________________

e) 1, 11, 23, 1, 3, 61
2 16 32 4 8 64 ___________________________________

8.- ¿Cuál crees que sería la forma más sencilla de ordenar 200 ó 1500 datos, sin hacerlo uno por uno?
9.- ¿Qué formas de presentación gráfica conoces?

III.- Traer un recorte de una revista o periódico donde se aplica la estadística en forma individual para publicarse en el salón.

DESARROLLO: 10 hrs.
1.- Leer la lectura proporcionada por el facilitador sobre variables, representaciones, ordenación de datos y gráficas y Elaborar un resumen de mínimo una cuartilla, donde enfatice los puntos a su consideración más importantes.
2.- Responder el cuestionario siguiente, apoyándote en los conocimientos construidos a partir de la lectura anterior.
2.1.- ¿Define el concepto de estadística?
2.2.- ¿Cómo se clasifica?
2.3.- Escribe cinco ejemplos de población, de diferente naturaleza.
2.4.- ¿Cuál sería una muestra de las poblaciones anteriores?
2.5.- ¿Cuál es la diferencia entre población y muestra?
2.6.- Indica en la línea final de cada enunciado una D si la variable es discreta o una C si es continua.
• La distancia en kilómetros entre Mexicali y Tijuana. ________
• El número de carros en el estacionamiento de la escuela. ________
• El tiempo que tardas en hacer una determinada tarea. ________
• Los años cumplidos que tiene tu mejor amigo(a). ________
• La temperatura de una persona enferma. ________

2.7.- Redondear cada uno de los siguientes números a la aproximación indicada.
• 95.6 aproximado a unidades ________
• 200.5 aproximado a unidades ________
• 39.95 aproximado a décimas ________
• 725 aproximado a centenas ________
• 62.50001 aproximado a unidades ________

2.8.- Expresar c/u de los siguientes números en notación científica, dejando sólo una cifra entera.
• 830,000 _____________
• 0.0000012 _____________
• 390,000,000,000 _____________
• 0.00000230000 _____________
• 3.5 _____________

2.9.- Expresar c/u de los siguientes números sin emplear notación científica.
• 418.72 x 10-3 _____________
• 280 x 10-9 _____________
• 2.54 x 10-2 _____________
• 0.004500 x 106 _____________
• 3,510,000 x 10-8 _____________
• 3.51 millones _____________
• 250 milésimas _____________

3.- Construye una tabla de distribución de frecuencias para datos no agrupados que contenga frecuencia, frecuencia relativa y frecuencias acumuladas. Apóyate con los compañeros de tu equipo.
Cantidad de errores de facturación diarios cometidos en un banco:
0 1 3 0 0 1 2 0
1 5 4 1 2 2 2 2
1 4 2 6 0 3 5
6 4 1 3 3 3 5
2 1 1 1 2 4 1
4.- Siguiendo el ejemplo proporcionado en el anexo, construye las tablas de distribución de frecuencias que contengan intervalos de clase, intervalos reales de clase, marca de clase o punto medio, frecuencia, frecuencia acumulada, frecuencia relativa, frecuencia relativa acumulada y grados. Elabora los histogramas, polígonos, ojivas y gráficas de sector circular para cada uno de los problemas a continuación.

i) Los datos siguientes representan los litros de leche vendidos diariamente por un pequeño comerciante durante un bimestre.
39 40 36 22 54 47 27 40 40 51 57 28
56 45 26 47 42 59 61 60 34 27 52 44
36 44 22 36 31 41 45 54 33 35 37 39
48 59 60 27 46 35 39 31 36 43 49 29
63 30 38 52 35 59 32 38 43 54 59 37

ii) La puntuación final en matemáticas de 80 estudiantes del CET Mar.
6.7 8.4 7.5 8.2 6.8 9.7 6.2 8.8
7.0 7.9 8.8 7.3 6.0 9.0 7.1 5.9
6.8 6.5 7.5 8.7 7.4 6.8 9.5 7.8
6.0 7.8 8.2 7.5 9.4 7.1 6.9 7.4
9.8 7.8 8.9 6.1 7.5 9.4 6.0 7.9
7.1 6.2 6.7 9.7 7.8 8.6 7.6 6.5
6.8 8.0 7.3 5.7 8.8 7.2 6.2 7.6
8.2 6.7 7.3 8.1 7.2 6.5 7.6 7.5


ACTIVIDADES DE CIERRE: 4 hrs.
Resolver lo siguiente:
1.- Usain Bolt, corredor de la isla de Jamaica, batió la marca mundial en la carrera de 100 metros planos celebrada en Berlín, con un tiempo de 9.59 segundos. Cabe hacer notar que en esta justa compitieron los 96 mejores corredores de esta distancia que hay en el planeta, llegando a la gran final los 8 mejores tiempos. Identifica:
a).- La Población __________________________
b).- Una variable continua _____________________
c).- Una variable Discreta _____________________
d).- Redondea a décimas el tiempo empleado para ganar por parte del británico. _______
e).- Escribe en notación científica el número de atletas participantes. __________
f).- Indica el número de cifras significativas que tiene el tiempo ganador. _______

2.- Integrados en equipos, los alumnos elegirán un problema a desarrollar, que involucre la toma de datos, tabla de distribución de frecuencias, gráficas y conclusiones.



Fecha de entrega ___15/Septiembre/2009__



ESTADÍSTICA
Ciencia ligada con los métodos científicos en la toma, organización, recopilación, presentación y análisis de datos, tanto para la deducción de conclusiones como para tomar decisiones razonables de acuerdo con tales análisis.

POBLACIÓN Y MUESTRA. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INDUCTIVA
En una colección de datos que atañen a las características de un grupo de individuos u objetos, tal como las alturas y pesos de los estudiantes de una universidad o el número de latas de atún producidas por una fábrica en un día determinado, es a menudo imposible o poco práctico observar la totalidad de los individuos, sobre todo si éstos son muchos. En lugar de examinar el grupo entero llamado población o universo, se examina una parte del grupo llamada muestra.
Una población puede ser finita o infinita. Por ejemplo, todas las latas producidas por una fábrica en un día determinado es una población finita, mientras que la población formada por todos los posibles sucesos en tiradas sucesivas de una moneda es infinita.
Si una muestra es representativa de una población, se pueden deducir importantes conclusiones acerca de ésta, a partir del análisis de la misma. La parte de la estadística que trata de las condiciones bajo las cuales tales inferencias son válidas se llama estadística inductiva o estadística inferencial. Al no poder estar absolutamente seguros de la veracidad de tales inferencias, se a de utilizar con frecuencia en estas conclusiones el término de probabilidad.
La parte de la estadística que trata solamente de describir y analizar un grupo dado sin sacar conclusiones o inferencias de un grupo mayor se llama estadística descriptiva o estadística deductiva.

TIPOS DE VARIABLES
Una variable es una variedad o característica que admite variaciones dentro de un conjunto de objetos. Si la variable puede tomar sólo un valor se llama constante. Si para una variable solo se puede hacer una clasificación, se le llama variable cualitativa, como sería el sexo, estado civil y título profesional. Solo indican un conjunto de categorías excluyentes.
Si a la variable se le asocian cifras a las categorías y se pueden efectuar con ellas operaciones matemáticas, se convierten en variables cuantitativas. Una variable que teóricamente puede tomar cualquier valor entre dos valores dados se llama variable continua (mediciones), si no es así, se llama variable discreta (conteos).
Ejemplos: El número de hijos en una familia es una variable discreta. La altura en cm de una persona es una variable continua.

REDONDEO DE DATOS
El resultado de redondear un número tal como 72.8 al entero más próximo es 73, puesto que 72.8 está más cerca de 73 que de 72. Análogamente, 72.8146 redondeado al número decimal con dos decimales será 72.81, puesto que 72.8146 está más cerca de 72.81 que de 72.82.
En el redondeo de 72.465 a un decimal con aproximación de centésimas, nos encontramos con el dilema de que 72.465 está justamente a la mitad de recorrido entre 72.46 y 72.47. Se acostumbra en tales casos redondear al número par más cercano que antecede al 5. Así, 72.465 se redondea a 72.46; 183.575 se redondea a 183.58; redondeando 116,500,000 con aproximación de millones será 116,000,000. Esta práctica es especialmente útil al minimizar la acumulación de errores de redondeo cuando se abarca un número grande de operaciones.

NOTACIÓN SISTEMÁTICA
Para escribir números que tienen muchos ceros antes o después del punto decimal, conviene utilizar potencias de 10.
Ejemplo 1: 101 = 10; 102 = 100; 103 = 1000; 107 = 10,000,000
Ejemplo 2: 100 = 1; 10-1 = 0.1; 10-2 = 0.01; 10-6 = 0.000001
Ejemplo 3: 864,000,000 = 8.64 x 108; 0.00003416 = 3.416 x 10-5.

Adviértase que al multiplicar un número por 108, por ejemplo, tiene el efecto de correr el punto decimal del número, 8 lugares a la derecha. Multiplicar un número por 10-6 tiene el efecto de llevar el punto decimal 6 lugares a la izquierda.

La multiplicación y división de números expresados en potencias de 10 se lleva a cabo multiplicando o dividiendo los números y sumando o restando algebraicamente las potencias de 10.
Ejemplo 1: (5 x 107) (3 x 10-3) = (5 x 3) x 107+(-3) = 15 x 104

Ejemplo 2: (18 x 103) / (3 x 1012) = (18/3) x 103-(12) = 6 x 10-9

CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Si una altura se registra exactamente como 1.78 m, significa que la verdadera altura se encuentra entre 1.775 y 1.785 m. Las cifras dígitas exactas, a partir de los ceros necesitados para situar el lugar decimal, se llaman dígitos significativos o cifras significativas del número.
Ejemplos:
65.4 tiene 3 cifras significativas
4.5300 tiene 5 cifras significativas
0.0018 = 1.8 x 10-3 tiene 2 cifras significativas
0.001800 = 1.800 x 10-3 tiene 4 cifras significativas


DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
PARA DATOS NO AGRUPADOS

Los datos no agrupados son un listado de valores observados, representan el agrupamiento de todos los valores observados. Los datos pueden ser discretos o continuos.
Dado que con datos desorganizados no se puede obtener información alguna, es necesario contar con un método que permita organizarlos.

• El primer paso consiste en hacer un ordenamiento tanto ascendente o descendente de magnitud.
• El siguiente paso consiste en tabular la frecuencia con la que aparece cada uno de los valores.
• Finalmente, se asigna la cantidad de veces que se presentan dichos valores (frecuencia). Se calcula la frecuencia acumulada, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada empleando la frecuencia y el número total de datos.

Ejemplo. Número de hermanos de un grupo de personas:
1 2 3 4
3 3 2 5
5 7 6 1
6 5 5 4
5 5 0 5
Número de hermanos Frecuencia
0 1
1 2
2 2
3 3
4 2
5 7
6 2
7 1
Total 20



La frecuencia acumulada se obtiene poniendo en el primer renglón el valor de la primera frecuencia, en el segundo la suma de la primera frecuencia más la frecuencia del segundo renglón, ejemplo 1 + 2 = 3, en el tercer renglón se suma el valor anterior a la frecuencia del tercer renglón (3 + 2 = 5). Se sigue de esta manera hasta terminar, quedando la tabla de la siguiente manera:




Número de hermanos Frecuencia Frecuencia acumulada
0 1 1
1 2 3
2 2 5
3 3 8
4 2 10
5 7 17
6 2 19
7 1 20

La frecuencia relativa se obtiene de la siguiente manera por medio de una regla de tres simple:

Número total de datos ----- 100%
Frecuencia en cuestión ---- X

X = (Frecuencia en cuestión) (100%)/ Número total de datos

Ejemplo: El total de datos es 20 y la primera frecuencia es 1 (personas con 0 hermanos)

20 datos -------- 100%
1 dato -------- X

X = (1) (100%)/ 20 = 5%

Para 5 hermanos la frecuencia relativa es:

X = (7) (100%)/ 20 = 35%
La tabla queda de la siguiente manera:

Número de hermanos Frecuencia Frecuencia Acumulada Frecuencia Relativa
0 1 1 5%
1 2 3 10
2 2 5 10
3 3 8 15
4 2 10 10
5 7 17 35
6 2 19 10
7 1 20 5


La frecuencia relativa acumulada se calcula igual que la frecuencia acumulada, pero empleando los valores de la frecuencia relativa. La tabla final quedaría:


Número de hermanos Frecuencia Frecuencia Acumulada Frecuencia Relativa Frecuencia Relativa Acumulada
0 1 1 5% 5%
1 2 3 10 15
2 2 5 10 25
3 3 8 15 40
4 2 10 10 50
5 7 17 35 85
6 2 19 10 95
7 1 20 5 100


PARA DATOS AGRUPADOS

Construir la distribución de frecuencia de datos agrupados es más complicado debido a que por lo general hay más categorías y mayor número de datos. Se recomienda hacer este tipo de tablas cuando el número de datos sea igual o mayor a 30 (n ≥ 30).

EJEMPLO:
1. El arreglo de los ingresos contenidos en un sábado por 20 alumnos de 4to semestre.

54 34 45 80 60 65
73 43 65 90 80 70
29 103 108 75 100 83
65 59 127 108 78 90
51 45 110 126 68 120
a) Número de datos : = 30
b) Dato mínimo: Xmin = 29
c) Dato máximo: Xmax = 127

Los pasos utilizados para elaborar la tabla consisten en obtención de:

a) Rango: dato de mayor valor – dato de menor valor = 127 - 29 = 98

b) Número de clases o categorías: 6

El número de clases debe de encontrarse entre 5 a 20 clases, proponemos 6, pero se podrían proponer 5, 8 ó 12.

c) Anchura de clase (w): (98/6 = 16.3); un número conveniente es 17


Conviene que al multiplicar el ancho por el número de clases se obtenga un valor ligeramente mayor al rango.

d) Para determinar el primer intervalo de clase es necesario tomar el dato mínimo y a partir del mismo se contarán los datos que determina la anchura de clase (17 datos).
Ejemplo:

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17

Por lo tanto el primer intervalo de clase tendrá una anchura de 29 – 45. El primer valor (29) se conoce como límite inferior del intervalo de clase, el segundo valor (45) es el límite superior de ese intervalo de clase.


e) Para determinar el segundo intervalo de clase se tomara el número siguiente del limite superior del primer intervalo de clase, sumando la anchura de clase (17 datos), quedando de la siguiente manera:

Clases Intervalos de clases Intervalos Reales de Clase Marca de Clase o Punto Medio Frecuencia Frec. acum.
1 29 - 45
2 46 - 62
3
4
5
6

“Los siguientes intervalos se harán con el mismo procedimiento, hasta cubrir las clases propuestas.” De esta manera aseguramos que el dato de menor valor quede en el primer intervalo de clase y el dato de mayor valor en el último intervalo de clase, por lo que los demás datos quedarán en algún intervalo o categoría.

f) Los Intervalos Reales de Clase se calculan de la siguiente forma:
Ya que el primer intervalo de clase termina en 45 y el segundo intervalo de clase empieza en 46, la diferencia entre los dos intervalos de clase es de una unidad.
Si dividimos esa unidad entre dos obtendremos el valor de 0.5.
Ese valor se resta a todos los límites inferiores de clase y se suma a todos los límites superiores de clase, obteniendo los límites inferiores y superiores reales de clase.
Ejemplo: 29 – 0.5 = 28.5
45 + 0.5 = 45.5
Lo mismo se hace en el siguiente intervalo de clase o categoría.
Clases Intervalo de clases Limites
Sup. - Inf. Marca de Clase o P. Medio Frecuencia Frec. acum.
1 29 - 45 28.5 - 45.5
2 46 - 62 45.5 - 62.5
3
4
5
6

Note que el límite real superior del primer intervalo es igual al límite real inferior del siguiente.

g) La marca de clase o punto medio de la primera clase se calculan con la siguiente relación: ½ (Límite inferior + Límite superior) = ½(29 + 45) = 37
Se toman los límites de la primera clase, superior e inferior, se suman y se dividen entre 2. Este punto representa a todos los datos que forman dicha clase. Se continúa igual para cada una de las clases subsecuentes.

La tabla quedaría:
Clases Intervalo de clases Limites
Sup. - Inf. Marca de Clase o P. Medio Frecuencia Frec. acum.
1 29 - 45 28.5 - 45.5 37
2 46 - 62 45.5 - 62.5 54
3
4
5
6

Tabulación de frecuencias y frecuencias acumuladas.
Del ejercicio anterior obtenemos la siguiente tabla:
Clases Intervalo de clase Intervalos reales de clase Marca de clase o P.Medio (Xi) Frecuencia
(F) Frecuencia Acumulada (FA)
1 29 - 45 28.5 - 45.5 37 5 5
2 46 - 62 45.5 - 62.5 54 4 9
3 63 - 79 62.5 - 79.5 71 8 17
4 80 - 96 79.5 - 96.5 88 5 22
5 97 - 113 96.5 - 113.5 105 5 27
6 114 - 130 113.5- 130.5 122 3 30
La frecuencia relativa se calcula igual que en el primer ejemplo visto en este anexo:

30 datos ----- 100%
5 datos ----- X

X = (5) (100%)/ 30 = 16.66%
De igual manera, la frecuencia relativa acumulada se calcula por la suma sucesiva de las frecuencias acumuladas.
La tabla quedaría, eliminando las primeras 4 columnas para que se vea bien:

Frecuencia (Freq) Frecuencia Acumulada (FA) Frecuencia Relativa (FR) Frecuencia relativa acumulada (FRA)
5 5 16.66% 16.66%
4 9 13.33 29.99
8 17 26.66 56.65
5 22 16.66 73.31
5 27 16.66 89.97
3 30 10 99.97

Quedaría por calcular los grados, que nos sirven para hacer las gráficas de sector circular.
La relación empleada es la siguiente:

Número total de datos (n)------------------ 360º
La frecuencia en cuestión ----- X

X = (La frecuencia en cuestión) (360º)/Número total de datos.

Ejemplo: Para la primera frecuencia X = (5) (360o)/30 = 60º.

La tabla final quedaría:

Int. Clase I. R. Clase Marca Freq FA FR FRA Grados
29 - 45 28.5 - 45.5 37 5 5 16.66% 16.66% 60º
46 - 62 45.5 - 62.5 54 4 9 13.33 29.99 48
63 - 79 62.5 - 79.5 71 8 17 26.66 56.65 96
80 - 96 79.5 - 96.5 88 5 22 16.66 73.31 60
97 - 113 96.5 - 113.5 105 5 27 16.66 89.97 60
114 -130 113.5- 130.5 122 3 30 10 99.97 36


GRÁFICAS

Histograma o Gráfica de Barras.

En el eje de las abcisas (X) se colocan los valores de los límites reales de clase. Es conveniente que las barras no empiecen pegadas al eje de las ordenadas. En el eje de las ordenadas (Y) se ubican las frecuencias. No hay porque poner hasta el número 30 (total de datos), puesto que la frecuencia más alta es sólo de 8.
La gráfica quedaría de la siguiente forma:


Polígono de Frecuencias.

Se emplean las marcas de clase o puntos medios en el eje de las X y la frecuencia en el eje de las Y. Es conveniente poner una marca de clase antes y otra después, con frecuencias de cero, para que la gráfica comience y termine en cero.

Marca Freq
20 0
37 5
54 4
71 8
88 5
105 5
122 3
139 0



Ojivas.

Esta gráfica puede elaborarse empleando la frecuencia acumulada o la frecuencia relativa acumulada. En el eje de las Y. En el eje de las X se colocan los valores de los intervalos reales de clase. Es una gráfica que siempre va en ascenso y que nos permitirá calcular, más adelante, la mediana, los cuarteles, deciles y percentiles. Es recomendable que la ojiva comience en cero.
Lim. Real Clase FA FRA
28.5 0 0
45.5 5 16.66%
62.5 9 29.99
79.5 17 56.65
96.5 22 73.31
113.5 27 89.97
130.5 30 100.00

La ojiva de frecuencia relativa acumulada se elabora de manera similar, tomando para el eje vertical los datos de frecuencia relativa acumulada.

Gráfica de sector circular.

Se elabora a partir de los grados que le corresponden a cada frecuencia en un círculo. La gráfica queda ejemplificada de la siguiente forma:

Al finalizar de hacer las gráficas, es importante obtener conclusiones sobre el problema que se estudió. En este caso, podemos decir que a más de la mitad de los muchachos no les fue bien, puesto que ganaron menos de 80 pesos